题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=3，点D从点A以每秒1个单位长度的速度向点B运动（点D不与B重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，以DE为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形ADFE，设点D的运动时间为t秒。
（1）用含的代数式表示△DEF的面积S；
（2）当t为何值时，⊙O与直线BC相切？

答案

解：（1）∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=60°
在△ADE中，
∵∠A=90°
∴
∵AD=1×t=t，
∴AE=
又∵四边形ADFE是矩形，
∴S_△DEF=S_△ADE=（0≤t<3）
∴S=（0≤t<3）；（2）过点O作OG⊥BC于G，过点D作DH⊥BC于H，
∵DE∥BC，
∴OG=DH，∠DHB=90°
在△DBH中，
∵∠B=60°，BD=，AD=t，AB=3，
∴DH=，
∴OG=
当OG=时，⊙O与BC相切，
在△ADE中，
∵∠A=90°，∠ADE=60°，
∴，
∵AD=t，
∴DE=2AD=2t，
∴，
∴
∴当时，⊙O与直线BC相切。