题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，已知A，B两点的坐标分别为A（0，2），B（2，0）直线AB与反比例函数的图像交与点C和点D（-1，a）。
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求∠ACO的度数；
（3）将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长。

答案

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（0，2），B（2，0）代入解析式中y=kx+b，得
，解得，
∴直线AB的解析式为，
将D（-1，a）代入得，a=，
∴点D坐标为（-1，），
将D（-1，）代入中得，，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解方程组，得，,
∴点C坐标为（3，），
过点C作CM⊥轴于点M，则在Rt△OMC中，
CM=，OM=3，
∴，
∴，
在Rt△AOB中，，
∴，
∴∠ACO=∠ABO-∠COE=30°；
（3）如图，∵OC′⊥AB，∠ACO=30°，
∴α=∠COC′=90°-30°=60°，∠BOB′==60°，
∴∠AOB′=90°-∠BOB′=30°，
∵∠OAB=90°-∠ABO=30°，
∴∠AOB′=∠OAB，
∴AB′=OB′=2，
答：当α为60度时OC′⊥AB，此时线段AB′的长为2。