题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合，已知AB=2，P是AC上的一个动点。
（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；
（2）当点P在运动过程中出现PD=BC时，求此时∠PDA的度数；
（3）当点P运动到什么位置时，以D、P、B、Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时□DPBQ的面积。

答案

解：在Rt△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，
∴BC=，AC=3，
（1）如图（1），作DF⊥AC，
∵Rt△ACD中，AD=CD，
∴DF=AF=CF=，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=30°，
∴CP=BC·tan30°=1，
∴PF=，
∴DP==。（2）当P点位置如图（2）所示时，根据（1）中结论，DF=，∠ADF=45°，
又PD=BC=，
∴cos∠PDF==，
∴∠PDF=30°，
∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°，
当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF=30°，
∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°；
（3）CP=，
在□DPBQ中，BC∥DP，
∵∠ACB=90°，
∴DP⊥AC，
根据（1）中结论可知，DP=CP=，
∴S_□DPBQ==。