题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2，过点D作DE∥AB，交∠BCD的平分线于点E，连接BE。
（1）求证：BC=CD；
（2）将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG，求证：CD垂直平分EG；
（3）延长BE交CD于点P，求证：P是CD的中点。

答案

证明：（1）如图，延长DE交BC于F，
∵AD∥BC，AB ∥DF，
∴AD=BF，∠ABC=∠DFC，
在Rt△DCF中，
∵tan∠DFC=tan∠ABC=2，
∴，
即CD=2CF，
∵CD=2AD=2BF，
∴BF=CF
∴CD=CD，
即BC=CD；（2）∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
由（1）知BC=CD，
∵CE=CE，
∴△BCE≌△DCE，
∴BE=DE，
由图形旋转的性质知CE=CG，BE=DG，
∴DE=DG，
∴C、D都在EG的垂直平分线上，
∴CD垂直平分EG； （3）如图，连接BD，
由（2）知BE=DE，
∴∠1=∠2，
∵AB∥DE，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∵AD∥BC，
∴∠4=∠DBC，
由（1）知BC=CD，
∴∠DBC=∠BDC，
∴∠4=∠BDP，
又∵BD=BD，
∴△BAD≌△BPD，
∴AD=DP，
∵，
∴
∴P是CD的中点。