题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点P在矩形的边DC上由D向C运动．沿直线AP翻折△ADP，形成如下四种情形，设DP=x，△ADP和矩形重叠部分（阴影）的面积为y。
（1）如图丁，当点P运动到与C重合时，求重叠部分的面积y；
（2）如图乙，当点P运动到何处时，翻折△ADP后，点D恰好落在BC边上？这时重叠部分的面积y等于多少？
（3）阅读材料：已知锐角a≠45°，tan2a是角2a的正切值，它可以用角a 的正切值tana来表示，即（a≠45°）。
根据上述阅读材料，求出用x表示y的解析式，并指出x的取值范围。（提示：在图丙中可设∠DAP=a ）

答案

解：（1）由题意可得∠DAC=∠D′AC=∠ACE，
∴AE=CE，
设AE=CE=m，则BE=10-m，
在Rt△ABE中，得m²=8²+（10-m）²，m=8.2，
∴重叠部分的面积y=·CE·AB=×8.2×8=32.8（平方单位）；
（2）由题意可得△DAP≌△D′AP，
∴AD′=AD=10，PD′=DP=x
在Rt△ABD′中，
∵AB=8，
∴BD′==6，
于是CD′=4，
在Rt△PCD′中，由x²=4²+（8-x）²，得x=5，
此时y=·AD·DP=×10×5=25（平方单位），
表明当DP=5时，点D恰好落在BC边上，这时y=25；
（3）由（2）知，DP=5是甲、丙两种情形的分界点，
当0≤x≤5时，由图甲知y=S_△AD′P=S_△ADP=·AD·DP=5x，
当5＜x＜8时，如图丙，设∠DAP=a，则∠AEB=2a，∠FPC=2a，
在Rt△ADP中，得tana=，
根据阅读材料，得tan2a=，
在Rt△ABE中，有BE=AB∕tan2a==，
同理，在Rt△PCF中，有CF=（8-x）tan2a=，
∴△ABE的面积
S_△ABE=·AB·BE=×8×=，
△PCF的面积
S_△PCF=·PC·CF=（8-x）×，
而直角梯形ABCP的面积为
S_梯形ABCP=（PC+AB）×BC=（8-x+8）×10=80-5x，
故重叠部分的面积y=S_梯形ABCP-S_△ABE-S_△PCF=80-5x-，
经验证，当x=8时，y=32.8适合上式，
综上所述，当0≤x≤5时，y=5x；当5＜x≤8时，y=80-5x--。