题目

题型：江苏期中题难度：来源：

如图，某汽车的底盘所在直线恰好经过两轮胎的圆心，两轮的半径均为60 cm，两轮胎的圆心距为260 cm(即PQ＝260 cm)，前轮圆心P到汽车底盘最前端点M的距离为80 cm，现汽车要驶过一个高为80 cm的台阶(即OA＝80 cm)，若直接行驶会“碰伤”汽车。
（1）为保证汽车前轮安全通过，小明准备建造一个斜坡AB (如图所示)，那么小明建造的斜坡的坡角α最大为多少度？(精确到0.1度)
（2）在（1）的条件下，汽车能否安全通过此改造后的台阶（即汽车底盘不被台阶刮到）？并说明理由。

答案

解：（1）如图1，为了保证汽车安全通过的最大坡角，
应满足当轮胎与地面BC、斜坡BA均相切，
且汽车底盘前端点M恰在斜坡AB上，
在Rt△PHM中，易知PH＝60 cm，PM＝80 cm，∠PMH＝α， 所以sinα=，
所以α≈48.5 (cm) (此处应采用去尾法进行近似) ；

（2）∵ ＜206
∴ 当前轮安全通过台阶时，后轮仍在平地上，
在Rt△AOB中，AB＝AO ÷sinα＝×80＝，
∴ OB＝，
∴ BN＝BH＝BM-MH＝80-，
∴ ON＝80＋，
如图2，假设底盘与点A相碰，
∵ △QAF∽△QPE
∴ ，
∴QA＝65，
∴ OC＝FQ＝，
∵ ＜80＋，
∴ 此车可以安全通过。