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题目
题型:不详难度:来源:
如图,矩形OABC中,A(6,0)、C(0,2)、D(0,3),射线l过点D且与x轴平行,点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点,满足∠PQO=60°.

(1)①点B的坐标是  ;②∠CAO=   度;③当点Q与点A重合时,点P的坐标为   ;(直接写出答案)
(2)设OA的中心为N,PQ与线段AC相交于点M,是否存在点P,使△AMN为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的横坐标为m;若不存在,请说明理由.
(3)设点P的横坐标为x,△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S,试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围.
答案
解:(1)①(6,2)。 ②30。③(3,3)。
(2)存在。m=0或m=3﹣或m=2。
(3)当0≤x≤3时,
如图1,OI=x,IQ=PI•tan60°=3,OQ=OI+IQ=3+x;

由题意可知直线l∥BC∥OA,
可得,∴EF=(3+x),
此时重叠部分是梯形,其面积为:

当3<x≤5时,如图2,


当5<x≤9时,如图3,


当x>9时,如图4,


综上所述,S与x的函数关系式为:

解析
矩形的性质,梯形的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函数值,相似三角形的判定和性质,解直角三角形。
(1)①由四边形OABC是矩形,根据矩形的性质,即可求得点B的坐标:
∵四边形OABC是矩形,∴AB=OC,OA=BC,
∵A(6,0)、C(0,2),∴点B的坐标为:(6,2)。
②由正切函数,即可求得∠CAO的度数:
,∴∠CAO=30°。
③由三角函数的性质,即可求得点P的坐标;如图:当点Q与点A重合时,过点P作PE⊥OA于E,

∵∠PQO=60°,D(0,3),∴PE=3

∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3,∴点P的坐标为(3,3)。
(2)分别从MN=AN,AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案:
情况①:

MN=AN=3,则∠AMN=∠MAN=30°,
∴∠MNO=60°。
∵∠PQO=60°,即∠MQO=60°,∴点N与Q重合。
∴点P与D重合。∴此时m=0。
情况②,如图AM=AN,作MJ⊥x轴、PI⊥x轴。
MJ=MQ•sin60°=AQ•sin600
 

 


,解得:m=3﹣
情况③AM=NM,此时M的横坐标是4.5,
过点P作PK⊥OA于K,过点M作MG⊥OA于G,

∴MG=

∴KG=3﹣0.5=2.5,AG= AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。
综上所述,点P的横坐标为m=0或m=3﹣或m=2。
(3)分别从当0≤x≤3时,当3<x≤5时,当5<x≤9时,当x>9时去分析求解即可求得答案。
核心考点
试题【如图,矩形OABC中,A(6,0)、C(0,2)、D(0,3),射线l过点D且与x轴平行,点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点,满足∠PQO=60°.(1)①点B】;主要考察你对解三角形等知识点的理解。[详细]
举一反三
计算:
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cos30°的值等于
A.B.C.D.

题型:不详难度:| 查看答案
如图,⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2,则图中阴影部分的面积为(  ).
A.B.C.D.

题型:不详难度:| 查看答案
计算:
题型:不详难度:| 查看答案
直角三角形两直角边边长分别为6cm和8cm,则连接这两条直角边中点的线段长为(    )
A.10cmB.3cmC.4cmD.5cm

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