题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分14分 第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15， cos∠A＝．点M在AB边上，AM＝2MB，点P是边AC上的一个动点，设PA＝x．

（1）求底边BC的长；
（2）若点O是BC的中点，联接MP、MO、OP，设四边形AMOP的面积是y，求y关于x的函数关系式，并出写出x的取值范围；
（3）把△MPA沿着直线MP翻折后得到△MPN，是否可能使△MPN的一条边（折痕边PM除外）与AC垂直？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）BC＝3
（2）y ＝x＋． 0＜x≤15）
（3）x＝2或5或14时满足△MPN的一条边与AC垂直

解析

试题分析：解：（1）作BH⊥AC于点H（如图一），

∵在Rt△ABH中，cos∠A＝，AB＝15，
∴AH＝12………………………………………………（1分）
∴BH＝9．………………………………………………（1分）
∵AC＝15
∴CH＝3．………………………………………………（1分）
∵BC²＝BH²＋CH²，∴BC²＝9²＋3²＝90，∴BC＝3．…（1分）
（2）作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F（如图一），
∵点O是BC的中点，∴OE＝OF＝BH＝．
∵AM＝2MB，AB＝AC＝15，∴AM＝10，BM＝5．
∵PA＝x，∴PC＝15－x，
∴y ＝ S_△ABC－S_△BOM－S_△COP＝BH·AC―OE·BM―OF·PC
＝×9×15－－…………………（1+1分）
＝x＋．…………………………………（1分）
定义域：（0＜x≤15）．…………………………… （1分）
（3）①当PN⊥AC时（如图二），作MG⊥AC于点G，

∵在Rt△AMG中，cos∠A＝，AM＝10
∴AG＝8，∴MG＝6．
①若点P₁在AG上，由折叠知：∠AP₁M＝135°，∴∠MP₁G＝45°．
∵MG⊥AC，∴P₁G＝MG＝6，………（1分）∴AP₁＝AG－P₁G＝2．…………（1分）
②若点P₂在CG上，由折叠知：∠AP₂M＝45°．
∵MG⊥AC，∴P₂G＝MG＝6，∴AP₂＝AG＋P₂G＝14．…………（2分）
③当MN⊥AC时（如图三），

由折叠知：∠AMP₃＝∠NMP₃，P₃N₃＝AP₃＝x，MN₃＝MA＝10，
∴P₃G＝8－x，GN₃＝4．
∵P₃N₃²＝P₃G²＋GN₃²，∴x²＝（8－x）²＋4²，∴x＝5．……（2分）
综上所述，x＝2或5或14时满足△MPN的一条边与AC垂直．
点评：本题的考查在于建立三角函数模型，主要考查函数的应用。解决此类问题通常有几个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果，其中关键是建立数学模型．