题目

题型：不详难度：来源：

如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，0）（a＞0），B（2，3），C（0，3）．过原点O作直线l，使它经过第一、三象限，直线l与y轴的正半轴所成角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a]．

【理解】
若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[　 　，　 　]；
【尝试】
（1）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ；

（2）经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形0ABC的边AB上，求出a的值；若点E落在四边形0ABC的外部，直接写出a的取值范围；
【探究】
经过FZ[θ，a]操作后，作直线CD交x轴于点G，交直线AB于点H，使得△ODG与△GAH是一对相似的等腰三角形，直接写出FZ[θ，a]．

答案

【理解】45°；3。
【尝试】（1）θ=30°。
（2）0＜a＜5
【探究】FZ[30°，2+]，FZ[60°，2+]。

解析

试题分析：【理解】若点D与点A重合，由折叠性质可知，OA=OC=3，θ=∠AOC=45°，∴FZ[45°，3]。
【尝试】
（1）如答图1所示，若点D恰为AB的中点，连接CD并延长交x轴于点F．证明△BCD≌△AFD，进而得到△OCD为等边三角形，则θ=30°。
（2）如答图2所示，若点E在四边形OABC的边AB上，则△ADE为等腰直角三角形，由此求出a=OA=OD+OA=5。由答图2进一步得到，当0＜a＜5时，点E落在四边形OABC的外部。
【探究】满足条件的图形有两种，如答图3、答图4所示。
解：【理解】45°；3。
【尝试】
（1）如答图1所示，连接CD并延长，交x轴于点F，

在△BCD与△AFD中，∵，
∴△BCD≌△AFD（ASA）。
∴CD=FD，即点D为Rt△COF斜边CF的中点。
∴OD=CF=CD。
又由折叠可知，OD=OC，∴OD=OC=CD。
∴△OCD为等边三角形，∠COD=60°。∴θ=∠COD=30°。
（2）经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，则点D落在x轴上，AB⊥直线l，如答图2所示，

若点E四边形OABC的边AB上，
由折叠可知，OD=OC=3，DE=BC=2。
∵AB⊥直线l，θ=45°，∴△ADE为等腰直角三角形。
∴AD=DE=2。∴OA=OD+AD=3+2=5。∴a=5。
由答图2可知，当0＜a＜5时，点E落在四边形OABC的外部。
【探究】FZ[30°，2+]，FZ[60°，2+]。如答图3、答图4所示。