题目

题型：不详难度：来源：

在一次机器人测试中，要求机器人从A出发到达B处．如图1，已知点A在O的正西方600cm处，B在O的正北方300cm处，且机器人在射线AO及其右侧(AO下方)区域的速度为20cm/秒，在射线AO的左侧(AO上方)区域的速度为10cm/秒．
(1) 分别求机器人沿A→O→B路线和沿A→B路线到达B处所用的时间(精确到秒)；(3分)
(2) 若∠OCB=45°，求机器人沿A→C→B路线到达B处所用的时间(精确到秒)；(3分)
(3) 如图2,作∠OAD=30°，再作BE⊥AD于E,交OA于P．试说明：从A出发到达B处，机器人沿A→P→B路线行进所用时间最短．(3分)
(参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.449)

答案

（1）67(秒)
（2）57(秒)
（3）机器人沿A→P→B路线行进所用时间最短

解析

(1)直接由速度、路程和时间的关系可求沿A→O→B路线行进所用时间；由勾股定理求出AB的长即可求得沿A→B路线到达B处所用的时间。
（2）由锐角三角函数求出BC的长，即可求出沿A→C→B路线行进所用时间。
（3）根据垂线段最短的性质即可求得。
解：(1) 沿A→O→B路线行进所用时间为：600÷20+300÷10=60(秒)，
在Rt△OBA中，由勾股定理，得AB==300 (cm)。
∴沿A→B路线行进所用时间为：300÷10≈300×2.236÷10≈67(秒)。
(2) 在Rt△OBC中,OB=300,∠OCB=45°，∴OC= OB=300cm，BC==300 (cm)。
∴AC=600－300=300(cm)。
∴沿A→C→B路线行进所用时间为：AC÷20+BC÷10=300÷20+300÷10≈15+42.42≈57(秒)。
(3) 在AO上任取异于点P的一点P′，作P′E′⊥AD于E′，连结P′B，

在Rt△APE和Rt△AP′E′中，sin30°=，
∴EP=，E′P′=。
∴沿A→P→B路线行进所用时间为：
AP÷20+PB÷10= EP÷10+PB÷10=(EP+PB)÷10=BE(秒)；
沿A→P′→B路线行进所用时间为：
AP′÷20+P′B÷10=" E′P′÷10+P′B÷10=(E′P′+P′B)÷10="  (E′P′+P′B)(秒)。
连结BE′，则E′P′+P′B > BE′>BE，∴BE < (E′P′+P′B)。
∴ 沿A→P→B路线行进所用时间，小于沿A→P′→B路线行进所用时间，
即机器人沿A→P→B路线行进所用时间最短。