题目

题型：新疆难度：来源：

（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）
若∠α=45°，则sinα______cosα；若∠α＜45°，则sinα______cosα；若∠α＞45°，则sinα______cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．

答案

（1）在图（1）中，令AB₁=AB₂=AB₃，B₁C₁⊥AC于点C₁，B₂C₂⊥AC于点C₂，B₃C₃⊥AC于点C₃，
显然有：B₁C₁＞B₂C₂＞B₃C₃，∠B₁AC＞∠B₂AC＞∠B₃AC．
∵sin∠B₁AC=

B1C1

AB1

，sin∠B₂AC=

B2C2

AB2

，sin∠B₃AC=

B3C3

AB3

，
而

B1C1

AB1

＞

B2C2

AB2

＞

B3C3

AB3

．
∴sin∠B₁AC＞sin∠B₂AC＞sin∠B₃AC．
在图（2）中，Rt△ACB₃中，∠C=90°，
cos∠B₁AC=

AC

AB1

，cos∠B₂AC=

AC

AB2

，cos∠B₃AC=

AC

AB3

，
∵AB₃＞AB₂＞AB₁，
∴

AC

AB1

＜

AC

AB2

＜

AC

AB3

．
即cos∠B₃AC＜cos∠B₂AC＜cos∠B₁AC．

（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．

（3）若∠α=45°，则sinα=cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．

（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．