已知：如图①，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC= 4cm，BC=3cm，点P由B 出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向 - 初中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知：如图①，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC= 4cm，BC=3cm，点P由B 出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)(0<t<2)，解答下列问题：
（1）当t为何值时，QP∥BC ？
（2）设AQP 的面积为y(cm²) ，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQP"C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP"C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

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核心考点

试题【已知：如图①，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC= 4cm，BC=3cm，点P由B 出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向】；主要考察你对相似三角形性质等知识点的理解。[详细]

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解：（1）在Rt△ABC中，由题意知：AP = 5-t，AQ = 2t 若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC ∴,∴ ∴ 所以当时，PQ∥BC （2）过点P作PH⊥AC于H． ∵△APH ∽△ABC ∴ ∴ ∴ ∴ （3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ． ∴ ，解得若PQ把△ABC面积平分，则，即-+3t=3 ∵ t=1代入上面方程不成立， ∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，若四边形PQP"C是菱形，那么PQ=PC． ∵PM⊥AC于M， ∴QM=CM． ∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC． ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得 ∴当时，四边形PQP"C 是菱形此时，在Rt△PMC中， ∴菱形PQP"C边长为
已知△ABC的三边长分别为，，2，△A"B"C"的两边长分别是1和，如果△ABC∽△A"B"C，那么△A"B"C"的第三边是
[ ]
A． B． C． D．
如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么（）。

如图，已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于O，OF⊥AC于O，交AB于E，交CB的延长线于F。求证：OB是OE与OF的比例中项。

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，过点E作EF⊥BC，EG⊥ED，交BC分别为点F、G，过点G作GH⊥EG交AB于点H，过点H作HI⊥BC，HJ⊥GH，交BC分别为点I、J，若三角形ACD与三角形DEF的面积分别为2和1，则三角形GHJ的面积=（）。

如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD 交△ABC的外接圆⊙O于点D，交BC于点G。 (1)连结CD，若AG=4，DG=2，求CD的长； (2)过点D作EF∥BC，分别交AB、AC的延长线于点 E、F。求证：EF与⊙O相切．