题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm。设点P、Q分别为BD、BC上的动点，点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P、Q移动的时间为t(0≤t≤4)．
（1）当t为何值时，PQ⊥BC？
（2）写出△PBQ的面积S(cm²)与时间t(s)之间的函数表达式，当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？

答案

解：（1）由题意知：BD=5，BQ=t，QC=4-t，DP=t，BP=5-t ，
           ∵PQ⊥BC，
          ∴△BPQ∽△BDC，
          ∴，即，∴，
          ∴当时，PQ⊥BC。
（2）过点P作PM⊥BC，垂足为M，
    ∴△BPM∽△BDC，
    ∴，PM=，
    ∴，
    ∴当t=时，S有最大值。
（3）①当BP=BQ时，5-t=t，∴t=；
②当BQ=PQ时，作QE⊥BD，垂足为E，此时BE=BP=，
    ∴△BQE∽△BDC，
    ∴，即      ∴t=；
③当BP=PQ时，作PF⊥BC，垂足为F, 此时BE=BQ=，
    ∴△BPF∽△BDC，
    ∴，即   ∴t=；
∴t_1⁼，t_2⁼，t_3⁼，均使△PBQ为等腰三角形_^。