题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

（1）如图1，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边的中点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，延长BF交CD边于点G，则FG=DG，求出此时DG的值；
（2）如图2，矩形ABCD中，AD>AB，AB=1，点E是AD边的中点，同样将△ABE沿BE翻折得到△FBE，延长BF交CD边于点G。
①证明：FG=DG；
②若点G恰是CD边的中点，求AD的值；
③若△ABE与△BCG相似，求AD的值。

答案

解：（1）设DG为x，由题意得：
BG=1+x，CG=1-x，
由勾股定理得：，
有：，
解得：，
∴DG=；
（2）①证明：连接EG，
∵△FBE是由△ABE翻折得到的，
∴AE=FE，∠EFB=∠EAB=90°，
∴∠EFG=∠EDG=90°，
∵AE=DE，
∴FE=DE，
∵EG=EG，
∴Rt△EFG≌Rt△EDG（HL） 
∴DG=FG，
②若G是CD的中点，则DG=CG=，
在Rt△BCG中，，
∴AD=；
③由题意AB∥CD，
∴∠ABG=∠CGB，
∵△FBE是由△ABE翻折得到的，
∴∠ABE=∠FBE=∠ABG，
∴∠ABE=∠CGB，
∴若△ABE与△BCG相似，
则必有∠ABE=∠CBG==30°，
在Rt△ABE中，AE=ABtan∠ABE=，
∴AD=2，AE=。