题目

题型：江苏中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B。
（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由；
（2）求△AOB的面积；
（3）Q是反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO 半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：AN∥MB。

答案

解：（1）点P在线段AB上，理由如下：
∵点O在⊙P上，且∠AOB=90°，
∴AB是⊙P的直径，
∴点P在线段AB上；（2）过点P作PP₁⊥x轴，PP₂⊥y轴，由题意可知PP₁、PP₂是△AOB的中位线，
故S_△AOB=OA×OB=×2PP₁×PP₂
∵P是反比例函数y=（x＞0）图象上的任意一点，
∴S_△AOB=OA×OB=×2PP₁×2PP₂=2PP₁×PP₂=12；（3）如图，连接MN，则MN过点Q，且S_△MON=S_△AOB=12，
∴OA·OB=OM·ON，
∴，
∵∠AON=∠MOB，
∴△AON∽△MOB，
∴∠OAN=∠OMB，
∴AN∥MB。