题目

题型：浙江省中考真题难度：来源：

如图（1），在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于点P、Q。
（1）四边形OABC的形状是______，
当α=90°时，的值是____；
（2）①如图（2），当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴时，求的值；
②如图（3），当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求△OPB′的面积；
（3）在四边形OABC旋转过程中，当0°<α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）矩形（长方形）；； （2）①∵∠POC=∠B′OA′，∠PCO=∠OA′B′=90°，
∴△COP∽△A′OB′，
∴
即
同理△B′CQ∽△B′C′O，　
∴
即
∴CQ=3，BQ=BC+CQ=11，
∴
②在△OCP和△B′A′P中，

 ∴△OCP≌△B′A′P（AAS），
∴OP=B′P，
设B′P=x，
在Rt△OCP中，
（8-x）²+6²= x²，
解得，
∴； （3）存在这样的点P和点Q，使，
点P的坐标是，
对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求，
过点Q 画QH⊥OA′于H，
连接OQ，
则QH=OC′=OC，
∵
∴PQ=OP，
设BP=x，
∵
∴BQ=2x，
①如图（1），
当点P在点B左侧时，
OP=PQ=BQ+BP=3x，
在Rt△PCO中，（8+x）²+6²=（3x）²，
解得，（不符实际，舍去）
∴
∴；
②如图（2），
当点P在点B右侧时，
OP=PQ=BQ-BP=x，
PC=8-x，
在Rt△PCO中，
（8-x）²+6²=x²，
解得，
∴
∴
综上可知，存在点，，使BP=。