题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图（1），在Rt△ABC中，∠BAC= 90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E。
（1）求证：△ABF∽△COE；
（2）当O为AC边中点，时，如图（2），求的值；
（3）当O为AC边中点，时，请直接写出的值。

答案

解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF+∠DAC=90°，
∴∠BAF=∠C，
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE=90°，
∵∠BOA+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠COE，
∴△ABF∽△COE；（2）如图，作OG⊥AC，交AD的延长线于G，
∵AC=2AB，O是AC边的中点，
∴AB=OC=OA，
由（1）有△ABF∽△COE，
∴△ABF≌△COE，
∴BF=OE，
∵∠BAD+∠DAC=90°，∠DAB+∠ABD=90°，
∴∠DAC=∠ABD，
又∠BAC=∠AOG=90°，AB=OA，
∴△ABC≌△OAG，
∴OG=AC=2AB，
∵OG⊥OA，
∴AB∥OG，
∴△ABF∽△GOF，
∴。