题目

题型：黑龙江省中考真题难度：来源：

已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F。
（1）如图（1），若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°，过点F作FG∥BC，交AB于点G，求证：FG+DC=AD；
（2）如图（2），若∠ABC=135°，过点F作FG∥BC，交AB的延长线于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是____；
（3）在（2）的条件下，若，DC=3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图（3）），连接CF，线段CF分别与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若，求线段PQ的长。

答案

解：（1）证明：∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABC=45°，
∴AD=BD，
∵∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=90°，
∵∠DAC+∠C=90°，
∴∠CBE=∠DAC，
∴△FDB≌△CDA
∵GF∥BD，
∴∠AGF=∠ABC=45°，
∴∠AGF=∠BAD，
∴FA=FG，
∴FG+DC=FA+DF=AD；（2）FG-DC=AD；（3）如图，∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=45°，
∵∠ADB=90°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴AD=BD，
∵FG∥BC，
∴∠G=∠DBA=∠DAB，
∴AF=FG，
FG²+AF²=AG²，
∴FG=AF=5，
∵DC=3，由（2）知：FG-DC=AD，
∴AD=BD=2，
∴BC=1，DF=3，
∴△FDC为等腰直角三角形，
∴，
分别过B、N作BH⊥FG于点H，NK⊥BC于点K，
∴四边形DFHB为矩形，
∴HF=BD=2，BH=DF=3，BH=HG=3，
∴，
∵sinG=，
∴，
又∵NK=KG，，
∴BK=BG-KG=BC-NK=，
∵∠MBN=∠HBG=45°，
∴∠MBH=∠NBK，
∵∠MHB=∠NKB=90°，
∴△MBH∽△NBK，
∴，
∴MH=1，
∴FM=1，
∵BC∥FG，
∴∠BCF=∠CFN，
∵∠BPC=∠MPF，CB=FM，
∴△BPC≌△MPF，
∴，
∵∠BQC=∠NQF，∠BCF=∠CFN，
∴△BCQ∽△NFQ，
∴，
∴，
∴，
∴。