题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E（与点A，C不重合）在AC边上，EF∥AB交BC于F点。
（1）当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长；
（2）当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长；
（3）试问在AB上是否存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长。

答案

解：（1）∵△ECF的面积与四边形EABF的面积相等
∴S_△ECF：S_△ACB=1：2
又∵EF∥AB　　
∴△ECF∽△ACB
∴且AC=4
∴CE=。
（2）设CE的长为x
∵△ECF∽△ACB
∴
∴CF=
由△ECF的周长与四边形EABF的周长相等，得

解得
∴CE的长为。

（3）△EFP为等腰直角三角形，有两种情况：
①如图1，假设∠PEF=90°，EP=EF。
由AB=5，BC=3，AC=4，得∠C=90°
∴Rt△ACB斜边AB上高CD=
设EP=EF=x，由△ECF∽△ACB，得
，即
解得，即EF=
当∠EFP′=90°，EF=FP′时，同理可得EF=。

②如图2，假设∠EPF=90°，PE=PF时，点P到EF的距离为
设EF=x，由△ECF∽△ACB，得
，即
解得，即EF=
综上所述，在AB上存在点P，使△EFP为等腰直角三角形
此时EF=或EF=。