题目

题型：广东省月考题难度：来源：

阅读材料，解答问题。
已知：锐角△ABC，如图，求作：正方形DEFG，使D、E落在BC边上，F、G分别落在AC、AB边上。
作法：
（1）画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形D₁、E₁、F₁、G₁（如图所示）；
（2）连结BF，并延长交AC于点F；
（3）过点F作EF⊥BC于点E；
（4）过F作FG//BC，交AB于点G；
（5）过点G作GD⊥BC于点D；则四边形DEFG即为所求作的正方形。
问题：（1）说明上述所求作四边形DEFG为正方形的理由。
（2）在△ABC中，如果BC=120，BC边上的高为80，求上述正方形DEFG的边长；
（3）若把（2）中的正方形DEFG改为矩形DEFG，且GF=DG，其他条件不变，此时，GF是多少？

答案

解：（1）理由：∵EF⊥BC，GD⊥BC，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形DEFG为矩形，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴EF=FG，
∴四边形DEFG为正方形；
（2）过A作，垂足为，交GF于H，则，
设正方形DEFG的边长为x，
∵GF∥BC，
∴，
∴，即，
解得x=48，
故正方形DEFG的边长为48；
（3）过点A作，垂足为，交GF于H，则，
设矩形DEFG的边长为x，则GF=x，
∵，
∴
∴，即，
解得x=60，
∴，
答：GF为30。