题目

题型：湖北省期中题难度：来源：

操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点，图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况。
研究：
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系，并结合图2加以证明；
（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由；
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图4加以证明。

答案

解：（1）连接PC．∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°，
∴∠ACP=∠B=45°
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠DPC=∠BPE
∴△PCD≌△PBE，
∴PD=PE；
（2）共有四种情况：
①当点C与点E重合，即CE=0时，PE=PB；
②CE=2﹣，此时PB=BE；
③当CE=1时，此时PE=BE；
④当E在CB的延长线上，且CE=2+时，此时PB=EB；
（3）MD：ME=1：3，
过点M作MF⊥AC，MH⊥BC，垂足分别是F、H，
∴MH∥AC，MF∥BC，
∴四边形CFMH是平行四边形，
∵∠C=90°，
∴CFMH是矩形，
∴∠FMH=90°，MF=CH，
∵，HB=MH，
∴，
∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，
∴∠DMF=∠EMH，
∵∠MFD=∠MHE=90°，
∴△MDF∽△MEH
∴．