题目

题型：模拟题难度：来源：

已知四边形为直角梯形．动点P从A点出发依次沿线段， 向点D移动，设移动路程为x，△的面积y关于x的函数关系如图4所示．
（1） 若图4中，请你确定的长；
（2） 在（1）的条件下，连接，当点P运动到上，过点P作∥，交线段AC于Q（如图2），若线段的动点N使△为等腰直角三角形，则的长为多少？
（3） 若图4中，当P运动到的中点时，连接，且与相交于点M，试问以 为顶点的三角形能否与△相似？若能，请求出图4中a的值；若不能，请说明理由．

答案

（1） ， 
（2）由（1）知，，存在如下图的三种等腰三角形的情况：
   
   易求得，PQ的长为或
（3） 当时，，
   由已知，以 为顶点的三角形与△相似，
  又易证得∠﹦∠．
  ∴另一对对应角相等有两种情况：①∠﹦∠；②∠﹦∠．
  当∠﹦∠时，∵∥，
  ∴∠﹦∠，
  ∴∠﹦∠．
  ∴，易得；
  当∠﹦∠时，∵∥，
  ∴∠﹦∠， ∴∠﹦∠，
 又∠是公共角，∴△∽△
 ∴， 即，
   可解得=
  综上所述，所求线段AD的长为或．