题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，P是边AB（含端点）上的动点．过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F恰好分别在边BC，AC上．
（1）△ABC与△SBR是否相似，说明理由；
（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；
（3）设边AB=1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值．

答案

解：(1) ∵RS是直角∠PRB的平分线，∴∠PRS=∠BRS=45°
在△ABC与△SBR中，
∠C=∠BRS=45°，
∠B是公共角，
∴△ABC∽△SBR
(2)线段TS的长度与PA相等.
∵四边形PTEF是正方形，
∴PF=PT，∠SPT+∠FPA=180°-∠TPF=90°
在Rt△PFA中，∠PFA +∠FPA=90°， ∴∠PFA=∠TPS，
∴Rt△PAF≌Rt△TSP，
∴PA=TS.
当点P运动到使得T与R重合时，这时△PFA与△TSP都是等腰直角三角形且底边相等，
即有PA=TS. 
由以上可知，线段ST的长度与PA相等.
(3)由题意，RS是等腰Rt△PRB的底边PB上的高，
∴PS=BS，∴BS+PS+PA=1，
∴PS=.
设PA的长为x，易知AF=PS，则y=PF=PA+PS，
得y=x²+(⁾²， 即y=，
根据二次函数的性质，当x=时，y有最小值为.
如图2，当点P运动使得T与R重合时，PA=TS为最大.
易证等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR， ∴PA=
. 如图3，当P与A重合时，得x=0. ∴x的取值范围是0≤x≤.
∴①当x的值由0增大到时，y的值由减小到
∴②当x的值由增大到时，y的值由增大到
∵≤≤，
∴在点P的运动过程中，正方形PTEF面积y的最小值是，y的最大值是