题目

题型：浙江省中考真题难度：来源：

如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合），连结BP，将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A₁B₁P，连结AA₁，射线AA₁分别交射线PB、射线B₁B于点E、F。
（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在____关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；
（2）如图2，设∠ABP=β，当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合，已知AB=4，设DP=x，△A₁BB₁的面积为S，求S关于x的函数关系式。

答案

解：（1）相似，
由题意得：∠APA₁=∠BPB₁=α，AP= A₁P，BP=B₁P
则∠PAA₁=∠PBB₁=
∵∠PBB₁=∠EBF
∴∠PAE=∠EBF
又∵∠BEF=∠AEP
∴△BEF ∽△AEP。
（2）存在，理由如下：
易得：△BEF ∽△AEP
若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可
∴∠BAE=∠ABE
∵∠BAC=60°
∴∠BAE=
∵∠ABE=β，∠BAE=∠ABE
∴
即α=2β+60°。（3）连结BD，交A₁B₁于点G，
过点A₁作A₁H⊥AC于点H
∵∠B₁A₁P=∠A₁PA=60°
∴A₁B₁∥AC
由题意得：AP= A₁P，∠A=60°
∴△PAA₁是等边三角形
∴A₁H=
在Rt△ABD中，BD=
∴BG=
∴（0≤x＜2）。