题目

题型：不详难度：来源：

在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连结EF、EC、BF、CF.

小题1:判断四边形AECD的形状（不证明）；
小题2:在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明。
小题3:若CD＝2，求梯形ABCD的面积。

答案

小题1:平行四边形
小题2:△BEF≌△FDC或（△AFB≌△EBC≌△EFC）
证明：连结DE   ∵AB＝2CD，E为AB中点  ∴DC＝EB 
又∵DC∥EB∴ 四边形BCDE是平行四边形
∵AB⊥BC  ∴四边形BCDE为矩形   ∴∠AED＝90°  
Rt△ADE中，∠A＝60°，F为AD中点  
∴EF＝AD＝AF＝FD  ∴△AEF为等边三角形  
∴∠BEF＝180°－60°＝120° 而∠FDC＝90°+30°=120° 
得△BEF≌△FDC（SAS）
小题3:
若CD＝2，则AB=AD＝4，AE=2 在Rt△AED中，由勾股定理得
DE=2 由此得梯形面积S=6

解析

分析：（1）根据题意可知AE∥CD且AE=CD，所以四边形AECD是平行四边形．
（2）连接DE，证出四边形DEBC是矩形，再加上F是AD的中点，∠A=60°，可得出△AFE是等边三角形，那么就可证出△BEF≌△FDC．
（3）因为F是AD的中点，所以能得出△EFC的面积是平行四边AECD的面积的一半，再加上∠A=60°，可求出DE（BC=DE）的长，再利用三角形的面积公式计算就可以了．
解:（1）平行四边形（2分）
（2）△BEF≌△CDF（3分）或（△AFB≌△EBC≌△EFC）
证明：连接DE，
∵AB=2CD，E为AB中点，
∴DC=EB，
又∵DC∥EB，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵AB⊥BC，

∴四边形BCDE为矩形，
∴∠AED=90°，∠CDE=∠BED=90°，BE=CD，
在Rt△AED中，∠A=60°，F为AD的中点，
∴AF=AD=EF，
∴△AEF为等边三角形，
∴∠DFE=180°-60°=120°，
∵EF=DF，
∴∠FDE=∠FED=30°．
∴∠CDF=∠BEF=120°，
在△BEF和△FDC中，
，
∴△BEF≌△CDF（SAS）．
（3）若CD=2，则AD=4，
∵∠A=60°，
∴sin60°==，
∴DE=AD?=2
∴DE=BC=2，
∵四边形AECD为平行四边形，
∴S_△ECF与S_{四边形AECD}等底同高，
∴S_{四边形AECD}=CD?DE=2×2=4，
S_△CBE=BE?BC=×2×2=2，
∴S_{四边形BCFE}=S_△ECF+S_△EBC=2+2=4．
S_梯形ABCD= S_{四边形AECD} +S_△CBE=4+2=6
点评：本题主要运用了平行四边形的判定和性质，以及矩形的判定和性质，还有全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式等内容．