题目
题型:不详难度:来源:
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(1)若P是BC边上的中点,连结AP,求证:BP×CP=AB2一AP2;
(2)若P是BC边上任意一点,上面的结论还成立吗?若成立,请证明,若不成立,请说明理由;
(3)若P是BC边延长线上一点,线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系?请证明你的结论?
答案
解析
试题分析:(1)先连接AP,由于AB=AC,P是BC中点,利用等腰三角形三线合一定理可知AP⊥BC,再在直角三角形利用勾股定理可得AB2=BP2+AP2,即AB2-AP2=BP2,而BP=CP,易得BP•CP=BP2,那么此题得证;
(2)成立.连接AP,作AD⊥BC,交BC于D,在等腰三角形ABC中利用三线合一定理,可知BD=CD,在Rt△ABD中,利用勾股定理可得AB2=AD2+BD2,同理有AP2=AD2+DP2,易求AB2-AP2的差,而BP=BD+DP,CP=CD-CP=BD-DP,易求BP•CP,从而可证AB2-AP2=BP•CP;
(3)AP2-AB2=BP•CP.连接AP,并做AD⊥BC,交BC于D,在△ABC中,利用等腰三角形三线合一定理可知
BC=CD,在Rt△ABC中和Rt△ADP中,利用勾股定理分别表示AP2、AB2,而BP=BD+DP,CP=DP-CD=DP-BD,
易求BP•CP的值,从而可证AP2-AB2=BP•CP.
(1)连接AP
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∵AB=AC,P是BC中点,
∴AP⊥BC,BP=CP,
在Rt△ABP中,AB2=BP2+AP2,
∴AB2-AP2=BP2,
又∵BP=CP,
∴BP•CP=BP2,
∴AB2-AP2=BP•CP;
(2)成立.
如右图所示,连接AP,作AD⊥BC,交BC于D,
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∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,
在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,
同理,AP2=AD2+DP2,
∴AB2-AP2=AD2+BD2-(AD2+DP2)=BD2-DP2,
又∵BP=BD+DP,CP=CD-DP=BD-DP,
∴BP•CP=(BD+DP)(BD-DP)=BD2-DP2,
∴AB2-AP2=BP•CP;
(3)AP2-AB2=BP•CP.
如右图,P是BC延长线任一点,连接AP,并做AD⊥BC,交BC于D,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103042256-29888.png)
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,
在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,
在Rt△ADP中,AP2=AD2+DP2,
∴AP2-AB2=(AD2+BD2)-(AD2+DP2)=PD2-BD2,
又∵BP=BD+DP,CP=DP-CD=DP-BD,
∴BP•CP=(BD+DP)(DP-BD)=DP2-BD2,
∴AP2-AB2=BP•CP.
点评:本题综合性强,难度较大,用BD、DP的和差来表示BP和CP是解题的关键.
核心考点
试题【如图,在△ABC中,AB=AC,(1)若P是BC边上的中点,连结AP,求证:BP×CP=AB2一AP2;(2)若P是BC边上任意一点,上面的结论还成立吗?若成立】;主要考察你对相似图形性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
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A.500 | B.1000 | C.600 | D.无法确定 |
A.增加180º | B.其内角和为360º | C.其内角和不变 | D.其外角和减少 |
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