题目

题型：不详难度：来源：

如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q.
（1）求证：△ P O D ≌ △Q O B ；
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形P B Q D是菱形．

答案

（1）证明：四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，                         
∴∠PDO=∠QBO，又OB=OD，∠POD=∠QOB，
∴△POD≌△QOB                             
（2）解法一： PD=8-t  
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，
∵AD=8cm，AB=6cm，∴BD=10cm，∴OD=5cm.               
当四边形PBQD是菱形时， PQ⊥BD，∴∠POD=∠A，又∠ODP=∠ADB，
∴△ODP∽△ADB，                                     
∴，即，                                    
解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形.               
解法二：PD=8-t     
当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=(8-t)cm，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在RT△ABP中，AB=6cm，
∴， ∴，
解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形.  

解析

（1）本题需先根据四边形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠PDO=∠QBO，再根据O为BD的中点得出△POD≌△QOB．
（2）本题需先根据已知条件得出∠A的度数，再根据AD=8厘米，AB=6厘米，得出BD和OD的长，再根据四边形PBQD是菱形时，证出△ODP∽△ADB，即可求出t的值，判断出四边形PBQD是菱形