题目

题型：四川省期末题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，以 （1，0）为圆心的⊙P与y轴相切于原点O，过点A（-1，0）的直线AB与⊙P 相切于点B 。
（1）求AB的长；
（2）求AB、OA与所围成的阴影部分面积（不取近似值）；
（3）求直线AB的解析式；
（4）直线AB上是否存在点M，使OM+PM的值最小？如果存在，请求出点M的坐标；如果不存在，请说理。

答案

解：连接PB ∵点A、P的坐标分别为（-1，0）、（1，0），
       ∴OA=OP=1，∴PA=2.
      ∵直线AB与⊙P 相切于点B
       ∴PB⊥AB，∴∠ABP=90°
        又∵⊙P与y轴相切于原点O ∴PB=OP=1
（1）AB=
（2）连接OB
       ∵∠ABP=90°，OA=OP∴OB=OP=AP 
          又∵PB=OP  ∴PB=OP=OB   ∴∠OPB=60°
   ∴S_阴影=S_△ABP-S_扇形POB=××1-=
（3）设直线AB与y轴相交于点C 
∵∠OPB=60°， ∠ABP=90°
∴∠BAP=180^。-60°-90°=30^。 
∴在Rt△OAC中，OC=AC   设OC=x，
    则AC=2x.依题意得　(2x)²=x²+1²        
    解得x=   ∵x＞0，∴x=  ∴点C坐标为(0， )
    可设直线AB的解析式为y=kx+(k≠0) 
     ∵直线AB过点A（-1，0），∴-k+=0.解得k =
      ∴直线AB的解析式为y=x+
（4）延长PB交y轴于点N. 
        在Rt△OPN中，∠ONP=180^。-60°-90°=30^。
      ∴PN=2PO=1×2=2，∴BN=PN-PB=1=PB　又∵PB⊥AB　　 
∴直线AB是线段PN的垂直平分线，点P、N关于直线AB成轴对称
       ∴ON与直线AB的交点C就是所求的点M
      故直线AB上存在点M，使OM+PM的值最小.点M即点C(0， )