题目

题型：不详难度：来源：

点P在锐角△ABC的边上运动，试确定点P的位置，使PA+PB+PC最小，并证明你的结论．

答案

当点P在锐角△ABC最短边上的高的垂足的位置时，
PA+PB+PC最小．
证明：如图，P为△ABC一边BC边，
上的高的垂足，而Q为BC边上的任一点，
∵PA+PB+PC=PA+BC，QA+QB+QC=QA+BC，PA＜QA，
∴PA+PB+PC＜QA+QB+QC
又设AC为△ABC最短边，作这边上的高BP′（如图），
可知BP"＞AP．
在BP′上截取B_oP′=AP，在BC上截取B′C=AC，
作B′P_o⊥AC．垂足为P_o，
连接B′B_o．
∵Rt△APC≌Rt△B"P_oC，
∴AP=B"P_o=B_oP"．
∵四边形B"B_oP"P_o是矩形，
∴∠B"B_oB=90°，
在△B"B_oB中，B"B＞BB_o，
∵P"A+P"B+P"C=BB_o+AP+AC，PA+PB+PC=BP"+AC+AP，
∴P"A+P"B+P"C＜PA+PB+PC．