题目

题型：不详难度：来源：

如图Ⅰ，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，则不难证明S₁=S₂+S₃．


（1）如图Ⅱ，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，设BC=a，AC=b，AB=c，证明：S₁=S₂+S₃．
（2）如图Ⅲ，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，请你确定S₁、S₂、S₃之间的关系．（不必证明）
（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，请你猜想S₁、S₂、S₃之间的关系？．（不必证明）

答案

（1）∵S₃=

π

8

AC²，S₂=

π

8

BC²，S₁=

π

8

AB²，
∴

π

8

AC²+

π

8

BC²=

π

8

AB²，
即

π

8

b²+

π

8

a²=

π

8

c²，
在Rt△ABC中，
∵b²+a²=c²，
∴S₂+S₃=S₁．

（2）S₁=S₂+S₃．
理由：由题意可得出：S₁=

3

4

AB²，S₂=

3

4

BC²，S₃=

3

4

AC²，
∴则S₁=

3

4

c2，S₂=

3

4

a2，S₃=

3

4

b2
∴S₂+S₃=

3

4

（a2+b2）=

3

4

c2=S₁，
即S₁=S₂+S₃．

（3）由（1）（2）可得出：S₁=S₂+S₃．