题目

题型：不详难度：来源：

已知等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10
（1）如图①，△ABC的面积=______，腰AC上的高BD=______；
（2）如图②，P是底边BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接AP，不难发现：△ABP的面积+△ACP的面积=△ABC的面积，据此式，你能求出PE+PF等于多少吗？你有什么发现？
（3）如图③四边形BCGH是形状、大小一定的等腰梯形，点P是下底BC上一动点，试问：点P到两腰的距离之和是否为一定值？简述理由．

答案

（1）过点A作AE⊥BC于点E，
∵等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，
∴BE=

1

2

BC=5，
∴AE=

AB2-BE2

=12，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AE=60，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BD，
∴BD=

2S△ABC

AC

=

120

13

；
故答案为：60，

120

13

；

（2）连接AP，
∵S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC，且PE⊥AB，PF⊥AC，
∴

1

2

AB•PE+

1

2

AC•PF=60，
∵AB=AC=13，
∴PE+PF=

120

13

；
结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；

（3）点P到两腰的距离之和为一定值．
理由：分别延长BH、CG，交点为A，过点B作BD⊥CG于点D，
∵梯形BCGH是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BD，S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC=

1

2

AB•PE+

1

2

AC•PF=

1

2

AC•（PE+PF），
∴PE+PF=BD．
即PE+PF等于点B到直线CG的距离．