题目

题型：同步题难度：来源：

△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C= 90°，AC=BC=2。
（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？ 请说明理由.   
（2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S₁；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S₂（如图2） 则S₂ =（    ）；再在余下的四个三角形中.用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形.称为第3 次剪取，并记这四个正方形的面积和为S₃；继续操作下去···则第10次剪取时，S₁₀=（    ）。  
（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和。

答案

解：（1）如图甲，由题意得：AE=DE=EC，
即EC= 1，S_{正方形CFDE} =1
如图乙，设MN=x，
则由题意得：AM=MQ=PN= NB=MN=x，

∴甲种剪法所得的正方形的面积更大。
（2）
（3）探索规律可知：
剩余三角形的面积和为：2-（S₁ + S₂+…+S_l0）