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题目
题型:不详难度:来源:
如图,O为正方形ABCD的对角线AC与BD的交点,M、N两点分别在BC与AB上,且OM⊥ON.
(1)试说明OM=ON;
(2)试判断CN与DM的关系,并加以证明.
答案
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∵OC=OB,∠OCM=∠OBN=45°,BD⊥AC,
∵OM⊥ON,
∴∠MON=∠COB=90°,
∴∠MON-∠MOB=∠COD-∠MOB,
∴∠COM=∠BON,
∵在△ONB和△OMC中,





∠NOB=∠MOC
OB=OC
∠OBN=∠OCM

∴△ONB≌△OMC(ASA),
∴OM=ON.

(2)CN=DM,CN⊥DM,
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴OC=OD,BD⊥AC,
∴∠DOC=∠BOC=90°,
∵∠COM=∠BON,
∴∠DOC+∠COM=∠BOC+∠BON,
即∠DOM=∠CON,
∵在△DOM和△CON中





OD=OC
∠DOM=∠CON
OM=ON

∴△DOM≌△CON(SAS),
∴CN=DM,∠DMO=∠CNO,
∵∠MON=90°,
∴∠NEO+∠CNO=90°,
∵∠MEC=∠NEO,
∴∠DMO+∠MEC=90°,
∴∠MFE=180°-90°=90°,
∴CN⊥DM.
核心考点
试题【如图,O为正方形ABCD的对角线AC与BD的交点,M、N两点分别在BC与AB上,且OM⊥ON.(1)试说明OM=ON;(2)试判断CN与DM的关系,并加以证明.】;主要考察你对正方形等知识点的理解。[详细]
举一反三
阅读下列材料:
小明遇到一个问题:如图1,正方形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C、D的n等分点,连接AF、BG、CH、DE,形成四边形MNPQ.求四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比(用含n的代数式表示).
小明的做法是:
先取n=2,如图2,将△ABN绕点B顺时针旋转90゜至△CBN′,再将△ADM绕点D逆时针旋转90゜至△CDM′,得到5个小正方形,所以四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比是
1
5

请你参考小明的做法,解决下列问题:
(1)取n=3,如图3,四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为______(直接写出结果);
(2)在图4中探究,n=4时四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为______(在图4上画图并直接写出结果);
(3)猜想:当E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C、D的n等分点时,四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为______(用含n的代数式表示);
(4)图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图,请你将它剪成三块后再拼成正方形(在图5中画出并指明拼接后的正方形).
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一个纸质的正方形“仙人掌”,假设“仙人掌”在不断地生长,新长的叶子是“缺角的正方形”,这些“正方形”的中心在先前正方形的角上,它们的边长是先前正方形的一半(如图).若第1个正方形的边长是1,则生长到第4次后,所得图形的面积是______.
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正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F.如图1,当点P与点O重合时,显然有DF=CF.
(1)如图2,若点P在线段AO上(不与点A、O重合),PE⊥PB且PE交CD于点E.
①求证:DF=EF;
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论;
(2)若点P在线段OC上(不与点O、C重合),PE⊥PB且PE交直线CD于点E.请完成图3并判断(1)中的结论①、②是否分别成立?若不成立,写出相应的结论.(所写结论均不必证明)
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如图,在正方形ABCD中,DC的中点为E,F为CE的中点,求证:∠DAE=
1
2
∠BAF.
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一个边长为1的正方形,以它的对角线为边向外做第二个正方形,再以第二个正方形的对角线为边向外作第三个正方形,以此类推,则第四个正方形的边长为______,第n个正方形的边长为______.
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