题目

题型：内蒙古自治区模拟题难度：来源：

如图所示，已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°。
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线AM交BC于点D（只保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作图形中，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使点A与点D重合，折痕EF交AC于点E，交AB于点F，连接DE、DF，再展回到原图形，得到四边形AEDF。
①试判断四边形AEDF的形状，并证明；
②若AC=8，CD=4，求四边形AEDF的周长和BD的长。

答案

解：（1）作图正确，
写出结论：射线AM就是所要求的角平分线；（2）①四边形AEDF是菱形，
证明：如图，根据题意，可知EF是线段AD的垂直平分线，
则AE=ED，AF=FD，∠AGE=∠AGF=90°，
由（1）可知，AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠DAF，
∵∠AGE=∠AGF，AG=AG，
∴△AEG≌△AFG，
∴AE=AF，
∴AE=ED=DF=AF，
∴四边形AEDF是菱形；
②设AE=x，则ED=x，CE=8-x，
在Rt△ECD中，4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
∴4x=20，
即四边形AEDF的周长是20，
由①可知，四边形AEDF是菱形，
∴FD∥AC，
∴，
∴，
解得，即BD的长是。