题目

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB，AC上，且G，F分别是AB，AC的中点。

（1）求等腰梯形DEFG的面积；
（2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止，设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图2）。
探究1：在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由；
探究2：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式。

答案

解：如图1
（1）过点G作GM⊥BC与M，
∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=，G为AB的中点，
∴GM=，
又∵G，F分别为AB、AC的中点，
∴，
∴，
∴等腰梯形DEFG的面积为6；
（2）能为菱形；
如图2，由BG∥DG′，GG′∥BC，
∴四边形BDG′G是平行四边形，
当BD=BG=AB=2时，四边形BDG′G为菱形，
此时可求得x=2，
∴当x=2秒时，四边形BDG′G为菱形；
（3）分两种情况：
①当时，
∵，∴，
∴重叠部分的面积为：；
∴当时，y与x的函数关系式为；
②当时，设FC与DG′交于点P，
则∠PDC=∠PCD=45°，
∴∠CPD=90°，PC=PD，
作PQ⊥DC于Q，则PQ=DQ=QC=，
∴重叠部分的面积为：
。