题目

题型：同步题难度：来源：

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B=60°，BC= 2AD，E、F分别为AB、BC的中点，
求证： （1）四边形AFCD为矩形；
（2）FE⊥DE。

答案

证明：（1）∵F为BC的中点，
∴BF=CF=BC，
∵BC=2AD，即AD=BC，
∴AD=CF，
∵AD∥BC，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∵BC⊥CD，
∴∠C=90°，
∴平行四边形AFCD是矩形；
（2）∵四边形AFCD是矩形，
∴∠AFB=∠FAD=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BAF=30°，
∴∠EAD=∠EAF+∠FAD=120°，
∵E是AB的中点，
∴BE=AE=EF=AB，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠BEF=60°，BE=BF=AE，
∵AD=BF，
∴AE=AD，
∴∠AED=∠ADE==30°，
∴∠DEF=180°-∠AED-∠BEF=180°-30°-60°=90°．
∴DE⊥EF.