题目

题型：四川省模拟题难度：来源：

如图，已知△ABC的高AE=5，BC=，∠ABC=45°，F是AE上的点，G是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I，连接IF并延长交BC于J，连接HF并延长交BC于K．
（1）求证：四边形HIKJ是平行四边形；
（2）当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时，求线段AF长的取值范围．

答案

解： （1）∵点G与点E关于点F对称，∴GF=FE 
∵HI∥BC，∴∠GIF=∠EJF，
又∵∠GFI=∠EFJ，∴△GFI≌△EFJ，
∴GI=JE
同理可得HG=EK ，∴HI=JK
∴四边形HIKJ是平行四边形
（2）当F是AE的中点时，A、G重合，所以AF=2.5
如图1，∵AE过平行四边形HIJK的中心F，
∴HG=EK，GI=JE
∴
∵CE＞BE，∴GI＞ HG，
∴CK＞BJ.
∴当点F在AE上运动时，点K、J 随之在BC上运动， 
如图2，当点F的位置使得B、J重合时，这时点K仍为CE上的某一点（不与C、E重合），
而且点H、I也分别在AB、AC上
设EF=x，∵∠AHG=∠ABC=45°，AE=5，
∴BE=5=GI，AG=HG=5-2x，CE=-5
∵△AGI∽△AEC，
∴AG∶AE=GI∶CE.
∴(5-2x)∶5=5∶(-5) 
∴x=1，∴AF=5-x=4
∴＜AF≤4