题目

题型：不详难度：来源：

（2011•南充）如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=；②S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE；③BM⊥DM；④BM=DM．正确结论的个数是（　　）

A．1个	B．2个
C．3个	D．4个

答案

D

解析

∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴AB=BC，CD=DE，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACE=90°；
∵△ABC∽△CDE
∴==
①∴tan∠AEC=，
∴tan∠AEC=；故本选项正确；
②∵S_△ABC=a²，S_△CDE=b²，S_梯形ABDE=（a+b）²，
∴S_△ACE=S_梯形ABDE﹣S_△ABC﹣S_△CDE=ab，
S_△ABC+S_△CDE=（a²+b²）≥ab（a=b时取等号），
∴S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE；故本选项正确；
④过点M作MN垂直于BD，垂足为N．

∵点M是AE的中点，
则MN为梯形中位线，
∴N为中点，
∴△BMD为等腰三角形，
∴BM=DM；故本选项正确；
③又MN=（AB+ED）=（BC+CD），
∴∠BMD=90°，
即BM⊥DM；故本选项正确．
故选D．