题目

题型：不详难度：来源：

（2013年四川攀枝花4分）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=BD
其中正确结论的为　 　（请将所有正确的序号都填上）．

答案

①③④。

解析

∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC。
∵∠BAC=30°，∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC。
∵F为AB的中点，∴AB=2AF。∴BC=AF。∴△ABC≌△EFA（SAS）。∴FE=AB。
∴∠AEF=∠BAC=30°。∴EF⊥AC。故①正确。
∵EF⊥AC，∠ACB=90°，∴HF∥BC。
∵F是AB的中点，∴HF=BC。
∵BC=AB，AB=BD，∴HF=BD。故④说法正确。
∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°，∠BDF=30°。
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠DFB=∠EAF。
∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°。∴∠BDF=∠AEF。∴△DBF≌△EFA（AAS）。∴AE=DF。
∵FE=AB，∴四边形ADFE为平行四边形。
∵AE≠EF，∴四边形ADFE不是菱形。故②说法不正确。
∵四边形ADFE为平行四边形，∴AG=AF。∴AG=AB。
∵AD=AB，∴AD=AG，即AD=4AG。故③说法正确。
综上所述，正确结论的为①③④。