题目

题型：期末题难度：来源：

如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上的一点，过点A作AG⊥BE，垂足为G，AG交BD于点F。
① 试说明OE=OF；
②若点E在AC的延长线上，AG⊥BE，交EB延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，若其他条件不变，请作图，结论OE=OF仍成立吗？请说明你的理由。

答案

证明：（1）∵AG⊥BE  ∴∠AEG+∠GAE=90°
∵AC和BD是正方形两对角线
∴AC⊥BD    ∴∠OBE+∠AEG=90°，∠AOF=∠BOE=90°，AO=BO
∴∠OBE=∠GAE
在△AOF和△BOE中
∵∠OBE=∠GAE，∠AOF=∠BOE=90°，AO=BO
∴△AOF≌△BOE  ∴OF=OE
（2）成立
在正方形ABC中 AO=BO  ∠AOB=∠BOE
又∵AG⊥BE  ∴∠GAE+∠BEA=90°  ∠EBD+∠AEB=90°
∴∠EBD=∠GAE
∴△AOF≌△BOE
∴OE=OF