题目

题型：月考题难度：来源：

如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。
（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由；
（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长；
（3）若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其他条件不变，此时（1）中的结论是否还成立，在图2中画出图形，并说明理由。

答案

解：（1）BM+CN=MN
证明：如图，延长AC至M₁，使CM₁=BM，连结DM₁
Rt△BDM≌Rt△CDM₁
∴∠M₁DN=∠MDN=60°
∴△MDN≌△M₁DN
∴MN=NM₁=NC+CM₁=NC+MB （2）利用（1）中的结论得出：
△AMN的周长=AM+MN+AN
=（AM+BM）+（NC+AN）
=2+2=4。（3）CN-BM=MN
证明：如图，在CN上截取，使CM₁=BM，连结DM₁
∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°
∴∠DBM=∠DCM₁=90°
∵BD=CD
∴Rt△BDM≌Rt△CDM₁
∴∠MDB=∠M1DC　　
DM=DM₁
∵∠BDM+∠BDN=60°
∴∠CDM₁+∠BDN=60°
∴∠NDM₁=∠BDC-（∠M₁DC+∠BDN）=120°-60°=60°
∴∠M₁DN=∠MDN 
∵AD=AD
∴△MDN≌△M₁DN
∴MN=NM₁=NC-CM₁=NC-MB