题目
题型:北京模拟题难度:来源:
(2)如图(2),当点M、N在边AB、AC上,且当DM≠DN时,猜想(1)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明;
(3)如图(3),当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若AN=x,则Q=____(用x、L表示)。
答案
证明:如图,延长AC至E,使CE=BM,连接DE,
∵BD=CD,且∠BDC=120°,
∴∠DBC=∠DCB=30°,
又△ABC是等边三角形,
∴∠MBD=∠NCD=90°,
在△MBD与△ECD中,
BM=CE,∠MBD=∠ECD,BD=DC,
∴△MBD≌△ECD(SAS),
∴DM=DE,∠BDM=∠CDE,
∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°,
在△MDN与△EDN中:
DM=DE,∠MDN=∠EDN,DN=DN,
∴△MDN≌△EDN(SAS),
∴MN=NE=NC+BM,
△AMN 的周长Q=AM+AN+MN
=AM+AN+(NC+BM)
=(AM+BM)+(AN+NC)
=AB+AC
=2AB,
而等边△ABC的周长L=3AB,
∴;
若AN=x,则Q=2x+L(用x、L表示)。
核心考点
试题【在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M,N,D为△ABC外一 点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=CD,探究:当点M、N分别在直线A】;主要考察你对全等三角形的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(2)使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形(图(2))。
(1)如图(1)当△ABC为直角三角形时,AM与DE的位置关系是____,线段AM与DE的数量关系是____;
(2)将图(1)中的等腰Rt△ABD绕点A沿逆时针方向旋转θ°(0<θ<90)后,如图(2)所示,(1)问中得到的两个结论是否发生改变?并说明理由。
(2)已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点(不与B、D点重合),请分别探究图(3)、图(4)中S1,S2,S3,S4四者之间的等量关系(S1,S2,S3,S4分别表示△ABP,△CBP,△CDP,△ADP的面积):
①如图(3),当四边形ABCD只有一对等高点A、C时,你得到的一个结论是____;
②如图(4),当四边形ABCD没有等高点时,你得到的一个结论是____;
原问题:如图(1),已知△ABC,∠ACB=90°,∠ABC=45°,分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE,且DA=DB,EB=EC,∠ADB=∠BEC=90°,连接DE交AB于点F探究线段DF与EF的数量关系。
小慧同学的思路是:过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形,通过推理使问题得解;
小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°;
小明同学经过合情推理,提出一个猜想,我们可以把问题推广到一般情况,请你参考小慧同学的思路,探究并解决这三位同学提出的问题:
(2)如图(2),若∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°,原问题中的其他条件不变,你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想并加以证明;
(3)如图(3),若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,原问题中的其他条件不变,你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想并加以证明。
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