题目

题型：北京模拟题难度：来源：

已知∠MAN，AC平分∠MAN。
（1）在图（1）中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，则AB+AD____AC；（填写“>”“<”或“=”）
（2）在图（2）中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在图（3）中：
①若∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，判断AB+AD与AC的数量关系，并说明理由；
②若∠MAN=α（0°<α<180°），∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD=____AC。（用含α的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）

答案

解：（1）=；（2）仍然成立，理由：
如图（1）过C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F，则∠CEA=∠CFA=90°，
∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°，
∴∠MAC=∠NAC=60°，
又∵AC=AC，
∴△AEC≌△AFC
∴AE=AF，CE=CF
∵在Rt△CEA中，∠EAC=60°
∴∠ECA=30°
∴AC=2AE
∴AE+AF=2AE=AC，
∴ED+DA+AE=AC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDE+∠ADC=180°，
∴∠CDE=∠CBF，
又∵CE=CF，∠CED=∠CFB，
∴△CED≌△CFB，
∴ED=FB，
∴FB+DA+AF=AC，
∴AB+AD=AC；（3）
理由：如图（2）方法同（2）可证△AGC≌△AHC
∴AG=AH，
∵∠MAN=60°，
∴∠GAC=∠HAC=30°，
∴AG=AH=，
∴AG+AH=，
∴GD+DA+AH=，方法同（2）可证△GDC≌△HBC，
∴DG=HB，
∴HB+DA+AH=，
∴AD+AB=；
②2cos。