题目

题型：期末题难度：来源：

（1）如图①所示，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的。
（2）如图②中所示，若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的。

答案

证明：（1）连结OA、OC，
∵点O是等边三角形ABC的外心
∴Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OCA
S_{四边形OFCG}=2S_△OFC=S_△OAC，
∴；
（2）如图2，不妨设OD交BC于点F，OE交AC于点G，
作OH⊥BC，OK⊥AC，垂足分别为点H、K，
在四边形HOKC中，∠OHC=∠OKC=90°，∠C=60°，
∴∠HOK=360°-90°-90°-60°=120°即∠1+∠2=120°，
又∵∠GOF=∠2+∠3=120°，
∴∠1=∠3，
∵AC=BC，
∴OH=OK，
∴△OFH≌△OGK，
∴S_{四边形OFCG}=S_{四边形OHCK}=S_△ABC。