题目

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

如图a，∠EBF=90°，请按下列要求准确画图：
① 在射线BE、BF上分别取点A、C，使BC＜AB＜2BC，连接AC得直角△ABC；
② 在AB边上取一点M，使AM=BC，在射线CB边上取一点N，使CN=BM，直线AN、CM相交于点P。
（1）请用量角器度量∠APM的度数为____（精确到1°）；
（2）请用说理的方法求出∠APM的度数；
（3）若将①中的条件“BC＜AB＜2BC”改为“AB＞2BC”，其他条件不变，你能自己在图b中画出图形，求出∠APM的度数吗？

答案

解：（1）45°；
（2）过点A作AK⊥AB，且AK=CN，
连接CK、MK，
∴四边形ANCK是平行四边形，
∵CN=MB，
∴AK=MB
∵AM=CB，∠B=∠KAM
∴△AKM≌△BMC
∴∠AKM=∠BMC，KM=MC
∵∠AKM+∠AMK=90°
∴∠BMC+∠AMK=90°
∴∠KMC=90°
∴△KMC是等腰直角三角形
∴∠MCK=45°
∵CK∥AN
∴∠APM=∠MCK=45°；
（3）过点A作AK⊥AB，且AK=CN，
连接CK、MK
∴四边形ANCK是平行四边形
∵CN=MB，
∴AK=MB
∵AM=CB，∠B=∠KAM
∴△AKM≌△BMC
∴∠AKM=∠BMC，KM=MC
∵∠AKM+∠AMK=90°
∴∠BMC+∠AMK=90°
∴∠KMC=90°
∴△KMC是等腰直角三角形
∴∠MCK=45°
∵CK∥AN
∴∠APM+∠MCK=180°
∴∠APM=135°。