题目

题型：湖南省期末题难度：来源：

在平面直角坐标系中，如图所示，△AOB是边长为2的等边三角形，将△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到△DCB，使得点D落在x轴的正半轴上，连结OC，AD。
（1）求证：OC=AD；
（2）求OC的长；
（3）求过A、D两点的直线的解析式。

答案

解：（1）∵△AOB是边长为2的等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，∠AOB=∠BAO=∠OBA=60°
又△DCB是由△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到的，
∴△DCB也是边长为2的等边三角形，
∴∠OBA=∠CBD=60°，OB=AB，BC=BD
又∠OBC=∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC=∠ABD
∴△OBC≌△ABD（SAS）
∴OC=AD（全等三角形的对应边相等）。
（2）作CF⊥OD交x轴于点F，则F为BD的中点，
∴BF=1
在Rt△BCF中，BC=2，BF=1，
由勾股定理得：CF²=BC²-BF²=4-1=3
CF=
在Rt△OCF中，OF=OB+BF=2+1=3，
由勾股定理得：OC²=OF²+CF²=9+3=12
∴OC==2。
（3）作AE⊥OB交x轴于点E，则E为OB的中点，
∴OE=1，AE=CF=
∴A点的坐标是（1，），
又OD=OB+BD=2+2=4
故D点的坐标是（4，0）
设过A、D两点的直线的解析式为y=kx+b，将A，D点的坐标代入得：
解得k=-，b=
∴过A、D两点的直线的解析式为y=-x+。