题目

题型：北京期末题难度：来源：

已知：△ABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点
（1）观察图中是否有全等三角形？若有，直接写出：（    ）；（写出一对即可）
（2）求∠BQM的度数。

答案

解：（1）有全等三角形，△ABM≌△BCN，△ACM≌△BAN，
①△ABM≌△BCN，证明如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵在△ABM与△BCN中，，
∴△ABM≌△BCN（SAS）
②△ACM≌△BAN，证明如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，
∴180°﹣∠BAC=180°﹣∠ACB，
即∠BAN=∠ACM，
∵BM=CN，
∴BM﹣BC=CN﹣AC，
即CM=AN，
∵在△ACM与△BAN中，，
∴△ACM≌△BAN（SAS）；
（2）根据（1）可得△ABM≌△BCN，
∴∠M=∠N，
根据三角形的外角性质，∠M+∠CAM=∠ACB=60°，∠BQM=∠N+∠NAQ，
又∵∠CAM=∠NAQ（对顶角相等），
∴∠BQM=∠ACB=60°。