题目

题型：内蒙古自治区中考真题难度：来源：

如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC．
（1）求证：∠PAC=∠B，且PA·BC=AB·CD；
（2）若PA=10，sinP=，求PE的长．

答案

（1）证明：∵PA是⊙O的切线，AB是直径，
∴∠PAO=90°，∠C=90°，
∴∠PAC+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°，
∴∠PAC=∠B，
又∵OP⊥AC，
∴∠ADP=∠C=90°，
∴△PAD≌△ABC，
∴AP：AB=AD：BC，
∵在⊙O中，AD⊥OD，
∴AD=CD，
∴AP：AB=CD：BC，
∴PA·BC=AB·CD；
（2）解：∵sinP=，且AP=10，
∴=，
∴AD=6，
∴AC=2AD=12，
∴在Rt△ADP中，PD==8，
又∵△PAD≌△ABC，
∴AP：AB=PD：AC，
∴AB==15，
∴A0=，
在Rt△APO中，根据勾股定理得：OP==，
∴PE=OP﹣OE=﹣=5．