题目

题型：同步题难度：来源：

如图，梯形ABCD 中，AD//BC，∠DCB= 45°，CD =2，BD⊥CD，过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF.     
(1)求EG的长；    
(2)求证：CF =AB +AF.

答案

(1)解∵BD⊥CD，∠DCB = 45°，∴∠DBC=∠DCB= 45°，    
∴CD=DB=2，∴CB==2，
∵CE⊥AB于E，点G为BC中点，∴EG=CB=.
(2)证明：证法一：延长BA、CD交于点H.     
∵BD⊥CD. ∴∠CDF=∠BDH=90°，    
∴∠DBH+∠H =90°，∵CE⊥AB于E，
∴∠DCF+∠H=90°   ∴∠DBH = ∠DCF，
又CD=BD，∠CDF=∠BDH，
∴△CDF≌△BDH(ASA)，      
DF=DH，CF=BH=BA +AH，∵AD//BC，∴∠DBC= ∠ADF=45°，      
∠HDA=∠DCB = 45°，∴∠ADF=∠HDA，又DF= DH，DA=DA，      
∴△ADF≌△ADH(SAS)，∴AF=AH，      
又CF=BH=BA+AH，∴CF=AB+AF. 证法二：在线段CE上截取CH=AB，连接DH.    
 ∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF+∠EFB =90°，∠DCF+∠DFC= 90°，    
又∠EFB= ∠DFC， ∴∠EBF=∠DCF，    
又BD=CD，BA=CH，∴ABD≌△HCD，    
∴AD= HD, ∠ADB= ∠HDC.    
又AD//BC，∴∠ADB= ∠DBC= 45°.    ∴∠HDC = 45°，
∴∠HDB = ∠BDC-∠HDC=45°，    ∴∠ADB=∠HDB.
又AD=HD，DF= DF，
∴△ADF≌△HDF，∴AF = HF，
∴CF= CH+ HF=AB+AF.