题目

题型：同步题难度：来源：

如图，已知点 D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD = ∠CBD = 15°，E 为AD 延长线上的一点. 且 CE=CA. 
(1)求证：DE平分∠BDC；
(2)若点M在DE上，且DC=DM.
求证：ME=BD.

答案

解：(1)在等腰直角△ABC中，    
∵∠CAD=∠CBD= 15°，    
∴∠BAD=∠ABD= 45°-15°= 30°，.    
∴ BD= AD ,
∴ △BDC≌△ADC,    
∴∠DCA= ∠DCB=45°.   
 由∠BDM = ∠ABD+∠BAD = 30°+30°= 60°，    
∠EDC= ∠DAC+∠DCA= 15°+45°= 60°，    
∴∠BDM=∠EDC，    
∴DE平分∠BDC.     
(2)如图.连接 MC.     
∵DC=DM，且∠MDC= 60°，    
∴△MDC是等边三角形. 即 CM=CD.     
又∵EMC=180°-∠DMC = 180°- 60°= 120°；    
∠ADC= 180°-∠MDC= 180°-60°= 120°，    
∴∠EMC=∠ADC.     
又∵CE=CA，    
∴∠DAC =∠CEM =15°，
∴△ADC ≌△EMC,
∴ ME=AD= DB.